Je ne sais pas trop; techniquement passer par du 220V alternatif pour transformer du 12V continu en 7,6 V continu c'est assez tiré par les cheveux

mais cela peut marcher.
Ce qui est certain c'est que le convertisseur 12v DC/220 V AC doit délivrer un courant de forme approximative (tout est d'ailleurs dans le quasi de leur quasi sinusoïdal), mais comme tu le redresses tout de suite, on peut espérer que le courant continu 7,6 V résultant est correct. Mais il faut savoir qu'autant des batteries d'appareil électronique à recharger sont tolérantes sur les petites pétouilles ou variations du courant utilisé, autant une électronique proprement dite alimentée en direct peut y être assez sensible.
Le convertisseur 220V est donné pour 300W, l'adaptateur secteur du boitier indique 3 A max sous 7,6 V, soit 3 x 7,6 = 22,8 W. L'adaptateur secteur est donc apparemment largement dimensionné (souvent les valeurs affichées sont optimistes, mais tu as plus d'un facteur dix de marge).
Pour l'autonomie potentielle, il faudrait savoir quel ampérage tu va consommer. J'ignore ce que nécessite un boitier...
En réfléchissant à chaud, sachant que ce qui suit peut être inexact... disons que cela va donner un vague ordre de grandeur:
Une batterie de boitier a une capacité d'environ 1700 mA.h, soit 1,7 Ampère.heure.
Mais en veille continue + déclenchements de temps à autre, je ne sais combien de temps la batterie tient. L'écran arrière et l'AF étant ce qui consomme le plus, comme je suppose que tu éteins l'écran arrière (ne serait-ce que pour la discrétion) et tu te mets en MF, MaP préréglée sur l'emplacement de ta barrière, tu dois consommer nettement moins qu'en usage "normal". Tout dépendra surtout du nombre de sortie de veille du boitier (qui consomme) et de déclenchements.
En se basant sur les 3A/7,6 V max. de l'adaptateur: cela correspond à env. 2A sous 12V. D'une part, un boitier utilisé comme tu le fait doit être loin de 3A; à l'inverse les pertes dues au convertisseur 220 V puis à l'adaptateur secteur doivent être importantes (ce type de matériel a un rendement, une efficacité, faible: il suffit de voir combien ils chauffent, ce qui correspond aux pertes d'énergies dans les deux transformations successives). Admettons donc que tu as bien besoin des 2A en sortie de batterie de voiture.
Si tu alimentes aussi ta barrière/piège, il faut ajouter sa consommation bien sur.
Une petite batterie de voiture doit avoir une capacité de 50 A.h. Une grosse dépasse les 100 A.h.
A 50 A.h, si tu en tires 2A en continu, elle dure 25heures avant d'être déchargée....
Plus pratique, tu as les "jump starter" portables. Conçus pour démarrer une voiture dont la batterie est déchargée, ils sont utilisés aussi comme source autonome en continu en camping et... en astronomie (pour alimenter la monture astronomique, voire l'ordi). Ils ont parfois une lampe incorporée qui facilité l'installation de nuit (mais consomme). Ils font en général entre 10 et 20 A.h, soit 5 à 10h sous 2 A.
(Attention: ces jump starter affichent volontiers pour impressionner l'intensité max. qu'ils supportent pendant les quelques secondes d'alimentation du démarreur: 300 A, 700 A. Cela n'a rien à voir avec la capacité de la batterie (en A.h et pas en A), mais la capacité est parfois difficile à trouver, voire pas mentionnée. J'ai parfois aussi vu marqué "10 A" au lieu de 10 A.h).Noter aussi qu'au froid (la nuit, l'hiver) la capacité réelle d'une batterie chute bien en-dessous de sa valeur affichée...
Comme dit plus haut, n'ayant aucune idée de la consommation réelle, les chiffres au-dessus ne sont vraiment que des ordres de grandeur approximés, la réalité peut être assez différente!
L'idéal serait un convertisseur direct 12V (batterie voiture) / 7,6 V (entrée boitier), en récupérant une prise qui correspond à l'entrée sur le boîtier.. Mais à ma connaissance, on ne trouve couramment dans le commerce que des 12V/6V.
Maintenant, même si mes souvenirs d'électroniques sont un peu lointains, on doit pouvoir concevoir un montage assez simple pour le faire. Mais il faut s'y connaître en électronique, et ensuite manier le fer à souder! Voici 30 ans, on trouvait aussi des kits tout prêts à monter pour ce genre de chose dans les boutiques de composants électroniques (mais je ne sais si cela existe encore, tant les boutiques que les kits! L'un des plus grands réseaux US, Radio Shack, a fait faillite voici un mois

et je ne me souviens pas de voir encore ce genre de boutique en France).
Bon, quelqu'un qui trempe encore dans l'électronique, ou connait les produits disponibles, pourra peut-être mieux te conseiller.